Архив
конференции
Механизмы сознания
Архив
конференции
Механизмы сознания
[ Back ] [ Home ] [ Up ] [ Next ]
From: Виктор Свиридов ( trc-svn@laes.sbor.ru ) Date: 2000-04-10 14:11
Лекция 1.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВО-СТРУКТУРНОЙ ТЕОРИИ (КСТ).
Окружающий нас Мир можно рассматривать с
различных позиций. Все его многообразие
материальных и нематериальных явлений можно
анализировать и описывать в виде
пространственных, временных,
причинно-следственных и других зависимостей. Все
это делается в рамках других научных и ненаучных
теорий. Нас же будет интересовать только один
аспект из всего этого многообразия взаимосвязей.
Независимо от физической сущности объектов и
явлений природы все они имеют некоторое общее
свойство. С одной стороны, все они являются
частью чего-либо "более общего", с другой
стороны, сами являются этим "общим" при
рассмотрении на другом, более "низком"
уровне.
Таким образом, если абстрагироваться от всех
различий присущих объектам и явлениям
физического Мира, то последние можно
рассматривать как некоторое пространство
(совокупность) однотипных взаимосвязанных
объектов. Такое пространство как известно
называют структурой. А поскольку пространство
наше состоит из дискретных элементов (частиц или
квантов) то и называть его мы будем
квантово-структурным пространством (КСП), а
элементы КСП будем называть квантами структуры
(КС).
Определим формально КСП и КС.
1. Понятие кванта структуры и квантово-структурного пространства.
Пусть задано дискретное конечное пространство
S взаимосвязанных между собой объектов
(элементов)
si =
> S, где:
1) для каждого элемента si определены два
линейно-упорядоченных подмножества (цепочки) Ii и
Oi произвольной длины, составленных из элементов
того же пространства S;
2) задано отношение порядка такое, что
sj < si < sk, если sj =
> Ii и sk =
> Oi ;
3) задано отношение равенства такое, что
si = sj, если Ii = Ij ;
4) для любой пары элементов si, sj выполняется
условие si =/ sj .
Здесь и далее в связи с ограниченными графическими возможностями конференции будем пользоваться следующими не совсем стандартными условными обозначениями:
S - КСП;
si - i-тый элемент КСП S;
si < sk - элемент si предшествует элементу sk;
sj =
> Ii - элемент sj принадлежит множеству Ii i-го
элемента;
= - знак равенства элементов;
=/ - знак неравенства элементов;
<s1 s2 ... sk
> - линейно-упорядоченное множество
элементов (цепочка);
Пространство S, удовлетворяющее данным
условиям, будем называть квантово-структурным
пространством (КСП), а элементы si - квантами
(частицами) структуры (КС).
В ряде случаев КСП графически может быть
изображено в виде графа, вершинами которого
являются элементы si, а направление и порядок
следования дуг соответствуют отношению порядка.
Дуга направлена от вершины si к вершине sj, если si
< sj и пересечение множеств Oi и Ij не пустое (Oi и Ij
имеют общие элементы) .
Условно примем, что порядок следования дуг,
примыкающих к вершине графа, соответствует
порядку следования элементов в цепочках: для Ii -
против часовой стрелки; для Oi - по часовой
стрелке.
Если изобразить КСП в в виде графа, то можно
увидеть, что с каждый элементом si можно
сопоставить два подмножества из S, а именно
подмножество Ii элементов sj определяющее
входящие в вершину si связи и подмножество Oi
элементов sk определяющее исходящие из вершины si
связи.
Определим квант структуры si как тройку:
(si / Ii/ Oi), где (1)
Ii и Oi - упорядоченные подмножества (цепочки) элементов множества S;
/ - это просто разделитель элементов выражения.
Выражение (1) будем называть описанием КС si, а само обозначение si именем кванта структуры.
Множество Ii будем называть множеством входов КС, а множество Oi - множеством выходов КС.
Элементы sj =
> Ii будем называть родителями или
предками si, а sj =
> Oi - потомками.
Связи, определяемые Ii и Oi, будем называть квантово-структурными связями (КС-связи) соответственно входными и выходными. Все множество множеств Ii и Oi будем обозначать как I(S) и O(S) соответственно.
Таким образом, в КСП каждый квант структуры определяется своим именем, упорядоченным множеством входов и множеством выходов.
2. Типы квантов структуры.
Из анализа выражения (1) видно, что в S можно
выделить четыре типа КС характеризующихся
наличием или отсутствием входных и выходных
связей.
Первый тип. КС, не имеющие ни входов, ни выходов,
будем называть пустыми или нуль-квантами.
Подмножество нуль-квантов в S будем обозначать
как N(S).
Второй тип. КС, имеющие только выходы, образуют в S
подмножество B. Элементы B будем называть
базовыми КС, а само подмножество B базой КСП и
обозначать как B(S). Будем говорить, что S построено
над B или порождено B.
Третий тип. КС, имеющие как входы, так и выходы,
будем называть внутренними или полными КС, а их
подмножество обозначать как D(S).
Четвертый тип. КС, имеющие только входы, будем
называть вершинами КСП, а их подмножество
обозначать как W(S).
3. Функции и операции над КСП.
Каждый КС характеризуется количеством входных
и выходных связей. Количество входов или выходов
КС si, как принято в теории множеств, будем
обозначать как card Ii и card Oi соответственно.
Модифицированные в процессе вычислений значения
будем обозначать знаком тильда ( ` ) в качестве
верхнего индекса соответствующей переменной.
КСП S будем называть полным, если выполняется
следующее условие:
card W(S) = 1 (2)
В полном КСП существует одна и только одна
вершина.
Расширим понятие базы следующим образом. В
отличие от базы КСП B(S) относительной базой B
будем называть любое заданное подмножество:
B = {si }, где все si = >S.
Функция конвергенции КС.
Пусть дано КСП S элементов (si / Ii / Oi). Определим на S функцию конвергенции КС как:
con(si) = card Ii (3)
Областью определения функции является все множество целых неотрицательных чисел.
Функция дивергенции КС.
Аналогично определим функцию дивергенции КС как:
div(si) = card Oi (4)
Область определения данной функции все тоже множество целых неотрицательных чисел.
Функция КС-вероятности КС.
Определим функцию КС-вероятности как функцию обратную по отношению к функции div(si):
qsp(si) = 0, если div(si) = 0 (равно нулю) (5)
qsp(si) = 1/div(si), если div(s) =/ 0 (не равно нулю)
Областью определения данной функции является множество всех неотрицательных действительных чисел.
Можно утверждать, что функция (5) численно выражает меру неопределенности (КС-вероятности) при выборе пути на графе КСП из вершины si; или характеризует степень принадлежности данного кванта структуры к каждому из порожденных им КС потомков; или характеризует силу (потенциал) связи между элементами КСП родителями и потомками.
Функция текущего состояния КС.
Введем в рассмотрение также некоторую (смысл наименования функции будет ясен из дальнейшего изложения) функцию act(si), которую определим следующим образом:
act(si) = sum[act(sj) * div(sj)], суммировать по всем sj = > Ii,
где sum[] - оператор суммирования
* - оператор арифметического умножения
Область определения функции множество
положительных действительных чисел.
Значение функции act(si) будем называть текущим
состоянием КС si, а множество состояний всех КС
текущим состоянием КСП и обозначать как act(S).
Прямое бинарное КС-преобразование (бинарная КС-свертка).
Пусть задано КСП S. Для любой пары si, sj из S определим прямое бинарное КС-преобразование следующим образом:
si & sj = sk . (7)
где sk такой элемент, что Ik=<sisj >, если такового в S нет, то в S создается КС с описанием:
(sk/<sisj >/ < >).
В этом случае описания КС si и sj изменяются в
соответствии с выражением:
Oi = Oi + sk ; Oj = Oj + sk,
где + - операция добавдения элемента в конец
цепочки.
& - знак операции КС-свертки (никакого отношения к логической операции И не имеет).
Прямое N-арное КС-преобразование (N-арная КС-свертка).
По аналогии с (7) определим N-арное прямое КС-преобразование. Для любых s1 ... sn из S прямое N-арное КС-преобразование:
s1 & ... & sn = sk (8)
Результатом операции является КС с именем sk такой, что Ik=<s1 ... sn >, если такового в S нет, он создается.
Обратное КС-преобразование (обратная линейная проекция).
Определим обратное КС-преобразование следующим образом. Пусть задано КСП S и его линейно-упорядоченное подмножество:
L=<s1 ...si ...sn >.
Тогда обратное КС-преобразование или первую обратную линейную проекцию L определим как:
L1 (L) = L1(<s1 ...si ... sn
>) = <s1` ...si`...sn`
>, (9)
где
si` = si, если si =
> B(S);
si` = Ii, если si =
> B(S).
Результатом обратного КС-преобразования
является упорядоченное множество (цепь)
родителей L. Если цепочка L состоит из одного КС si,
то L1(si) есть обратное КС-преобразование КС si.
Соответственно n-ую обратную линейную проекцию
определим как:
Ln(si) = L1(L1(...L1(si))), (10)
где операция L1(si) применяется n-раз.
Относительным обратным КС-преобразованием si относительно заданной базы B будем называть минимальную n-ю обратную линейную проекцию, удовлетворяющую условию:
LB(si) = Ln(si), где все sj = > Ln(si) = > B или sj = > Ln(si) = > B(S) (11)
"LB" - запись обозначает: линейная проекция относительно базы В ; B читать как нижний индекс.
Полным обратным КС-преобразованием или полной обратной линейной проекцией КС si будем называть минимальную n-ю обратную линейную проекцию, удовлетворяющую условию:
LS(si) = Ln(si), где все sj = > LS(si) = > B(S) (12)
"LS" - запись обозначает: линейная проекция относительно базы S ; S читать как нижний индекс.
Результатом полного обратного
КС-преобразования является упорядоченная
цепочка базовых прародителей данного КС.
В силу определения (9) для любого si =
> S существует
одно и только одно значение LS(si).
Понятие уровня в КСП.
Относительным уровнем КС si в КСП S будем называть такое min чило n
UB(si) = n, при котором все sj = > Ln(si) = > B. (13)
КС sj(B будем называть КС-нулевого уровня
относительно базы B.
Абсолютным уровнем КС si будем называть такое min
чило n, что:
US(si) = n, при котором все sj = >Ln(si) = > B(S). (14)
КС sj =
> B(S) будем называть КС-нулевого уровня
КСП S.
Уровнем КСП U(S) будем называть max из абсолютных
уровней КС si =
> S.
Линейное равенство и эквивалентность в КСП.
Введем понятие линейного равенства КС. Пусть
заданы S1 и S2 построенные над базой B
и si =
> S1 и sj =
>S2 .
Тогда
si =B sj, если LB(si) = LB(sj) (15)
"=B" - запись обозначает: линейно-равно относительно базы B.
То есть два КС линейно-равны относительно B
тогда и только тогда, когда они имеет равные
полные обратные КС-преобразования.
Будем говорить, что S1 линейно-эквивалентно S2
относительно базы B, если для любого si =
> S1 в S2
существует такой sj =
> S2, что si =B sj и будем
записывать это как:
S1 =
>B S2. (16)
" =
>B " - запись обозначает:
линейно-эквиваленто относительно базы В
Будем говорить, что два КСП линейно-равны, если выполняются следующие условие:
S1 =
>B S2 и S2 =
>B S1. (17)
Записывать равенство будем как S1 =B S2.
"=B" - запись обозначает: линейно-равно относительно базы В.
Таким образом, по определению два КСП S1 и S2 линейно-равны относительно базы B тогда и только тогда, когда все КС из S1 или S2 имеют равные полные обратные КС-преобразования в другом КСП относительно заданной базы.
Можно показать что, для любого КСП S1 такого, что
некоторые si =
> S1 имеют con(si)
> 2 существует
линейно-эквивалентное КСП S2 такое, что все si =
> S2
имеют con(si) <= 2 (меньше или равно).
Такое КСП будем называть бинарным.
Какое отношение вся эта арифметика имеет к
проблемам сознания, восприятия, мышления,
информации и машинам мы рассмотрим в последующих
лекциях.
Напоследок рассмотрим один простой пример.
Предположим, что в нашем Мире у нас есть два
некоторых объекта A и B из которых, мы хотим,
объединив их, построить новый объект С. Такие вот
абстрактные кирпичи. Сказано - сделано. Зададим
себе вопрос: Что изменилось в нашем Мире?
Предлагается два варианта ответа:
1) Появился новый объект C и все.
2) Появился новый объект С. Изменились свойства
объектов А и В. Изменились свойства всех ранне
созданных объектов, в состав которых входят А или
В. В некотором смысле изменился весь Мир. Вот
теперь все.
Правильный ответ 2. Почему - смотри выше.
До встречи.
Виктор Свиридов.